Una comparación entre las ecuaciones de Yang-Mills y las de Maxwell

Abstract

RESUMEN:

Las teorías de norma son de gran importancia en la descripción de la dinámica de las partículas elementales. En este trabajo se presenta primero una revisión de los principales elementos matemáticos que son empleados en el estudio de las teorías de norma. En particular se discuten los conceptos de variedades diferenciables, grupos de Lie, haces fibrados y conexiones sobre haces principales. Estas ideas se emplean más adelante para definir de forma precisa a las teorías de norma y su relación con el formalismo de haces fibrados. Posteriormente se obtienen en forma detallada las ecuaciones de Yang-Mills para el caso en el que el grupo de norma es U(1) correspondiente a la teoría electromagnética de Maxwell y también para cuando dicho grupo es U(N). Se hace además una comparación entre estos dos conjuntos de ecuaciones. Finalmente se considera la solución de las ecuaciones de Yang-Mills para cuando el grupo de norma es SU(2). Se discuten las soluciones de onda plana no-abeliana, la de Ikeda-Miyachi y las de Wu-Yang y 't Hooft-Polyakov que contienen monopolos magnéticos.

ABSTRACT:

Gauge theories are of great importance in the description of the dynamics of elementary particles. In this work we present rst a review of the main mathematical elements that are used in the study of gauge theories. In particular, the concepts of differentiable manifolds, Lie groups, fiber bundles and connections on principal bundles are discussed. These ideas are used later to define in a precise way the gauge theories and their relation with the formalism of ber bundles.

Then the Yang-Mills equations are obtained for the case corresponding to Maxwell's electromagnetic theory in which the gauge group is U(1) as well as when that group is U(N). In addition a comparison between these two sets of equations is made. Finally we consider the solution of the Yang-Mills equations when the gauge group is SU(2). The solutions of non-abelian plane wave and of Ikeda-Miyachi are discussed as well as those of Wu-Yang and t'Hooft-Polyakov which contain magnetic monopoles.