A simple thermodynamic model of the internal convective zone of the earth and the constraints of the equations of state in thermodynamics

Abstract

RESUMEN:

Part 1. Bien se sabe que tanto la convección atmosférica como la convección en el manto terrestre, son fenómenos muy complejos. La descripción dinámica de estos procesos involucra complicados modelos matemáticos 2-D o 3-D. Sin embargo, una primera aproximación a estos fenómenos puede ser por medio de modelos termodiáamicos simplificados, donde la restricción impuesta por las leyes de la termodinámica juega un papel importante. Un ejemplo de este enfoque es el modelo propuesto por Gordon y Zarmi en 1989 para emular las celdas convectivas de la atmósfera terrestre, mediante el uso de termodinámica de tiempos finitos (TTF). En esta tesis utilizamos el modelo TTF de Gordon-Zarmi, para describir de manera aproximada la convección en el manto de la Tierra. Nuestros resultados permiten la existencia de dos capas de celdas convectivas a lo largo del manto. Además, el modelo reproduce razonablemente las temperaturas de las principales discontinuidades del manto, como la discontinuidad de 410 km, la zona de transición Repetti y la llamada capa D.

Part 2. Se desarrolla un método para completar un conjunto incompleto de ecuaciones de estado de un sistema termodinámico. Una vez que el conjunto de ecuaciones secundarias se encuentra completo, se puede verificar la validez termodinámica del sistema con un método más simple que el método del Hesiano [J. Non-Balance Thermodyn 38 (2013), 293{312], desarrollado por Essex y Andresen. Además, se realiza un estudio completo para obtener todas las relaciones entrópicas y todas las ecuaciones TdS para cada representación. Mediante una receta sistemática se puede deducir dando un estudio completo de cada sistema. Para mostrar la viabilidad del método, se aplica a algunos sistemas termodinámicos típicos como el gas ideal, el gas de fotones y el gas de los neutrinos. Algunas identidades bien conocidas y desconocidas se deducen. En contraparte, analizamos algunos sistemas especiales con ecuaciones de estado aparentemente no físicas, el cual muestra las correcciones que deben hacerse para obtener ecuaciones de estado bien definidas para que puedan representar sistemas termodinámicos. Por ejemplo, algunas ecuaciones de estado recientemente no convencionales solían mostrar la universalidad del teorema de Carnot [ textit Eur. J. of Phys. 34 (2013), 2, 273], la banda elástica, el sólido paramagnético y la ecuación de estado de Kelly para un plasma se corrige utilizando nuestro método. En cada caso, la comparación se realiza con el método del Hesiano, demostrando que nuestro método es más simple y fácil de aplicar. Finalmente, se desarrolla un método para obtener el hesiano sin tener una expresión de la energía interna como función de la entropía y las variables extensivas.

ABSTRACT:

Part 1. As it is well known both atmospheric and mantle convection are very complex phenomena. The dynamical description of these processes is a very dificult task involving complicated 2-D or 3-D mathematical models. However, a first approximation to these phenomena can be by means of simplified thermodynamic models where the restriction imposed by the laws of thermodynamics play an important role. An example of this approach is the model proposed by Gordon and Zarmi in 1989 to emulate the convective cells of the atmospheric air by using finite-time thermodynamics (FTT). In the present thesis we use the FTT Gordon-Zarmi model to coarsely describe the convection in the Earth's mantle. Our results permit the existence of two layers of convective cells along the mantle. Besides the model reasonably reproduce the temperatures of the main discontinuities in the mantle, such as the 410 km-discontinuity, the Repetti transition zone and the so-called D-Layer.

Part 2. A method is developed to complete an incomplet set of secondary equations of state of a thermodynamic system. Once the complete set of secondary equations is found, in order to verify the thermodynamic validity of the system a simpler method than the Hessian method developed by Essex and Andresen [J. Non-Balance Thermodyn 38 (2013), 293{312], is shown. Moreover, A complete study of each system is done by obtaining all the entropic relations and all the TdS equations for each diferent representations. By a systematic recipe, all the thermodynamic identities can be deduced giving a complete study of each system. In order to show the viability of the method, it is applied to some typical thermodynamic systems as the ideal gas, the gas of photon and the gas of neutrinos. Some well-known and unknown thermodynamic identities are deduced. In counterpart, we analyze some special systems with apparently nonphysical equations of state showing the corrections that have to be made in order to obtain well-de ned equations of state which can represent thermodynamic systems. For example, some recently unconventional equations of state used to show the universality of Carnot theorem [Eur. J. of Phys. 34 (2013), 2, 273], the rubber band, the paramagnetic solid and the Kelly equation of state for a plasma are corrected by using our method. In each case, a comparison is made with the Hessian method proving that our method is simpler and easier to apply. Moreover, a method is developed in order to obtain the Hessian without having an expression of the internal energy as a function of the entropy and the extensive variables.