Análisis adiabático de guías de ondas cuánticas

Abstract

RESUMEN: Una guía de ondas cuántica estratificada es un tipo de estructura que encuentra aplicaciones prácticas en el ámbito de los semiconductores, que incluyen a los alambres cuánticos y otras hete-ro estructuras semiconductoras. Este trabajo está basado en la solución de la ecuación de Schrödinger bidimensional independiente del tiempo para la propagación de ondas cuánticas en una estructura estratificada formada por un núcleo y un revestimiento, que presenta una variación lenta con res-pecto a una coordenada espacial. La variación lenta está expresada en términos de un parámetro pequeño, el cual hace que el núcleo de la guía de ondas cuántica se estreche o se amplié a lo largo de la dirección longitudinal de la guía. El análisis se basa en la formulación de un problema espectral del tipo Sturm-Liouville asociado a la ecuación de Schrödinger unidimensional libre de unidades, y ciertas condiciones de frontera que dependen del parámetro mencionado, donde las ondas cuánticas interactúan con un pozo de potencial atractivo localizado en el núcleo de la guía de ondas cuántica. Se presentan los estados ligados, y se caracteriza el espectro discreto que representa a las energías permitidas del sistema y se obtiene la ecuación de dispersión correspondiente. De igual manera, se presentan los estados de dispersión y se obtienen las dos familias de funciones propias generalizadas. La solución de la ecuación de Schrödinger bidimensional se obtiene a partir de la técnica de la función de Green, que requiere el cálculo de las funciones propias normalizadas del problema espectral deSturm-Liouville. Usando el método SPPS (por sus siglas en inglés: Spectral Parameter Power Series) se expresan las funciones propias normalizadas y la ecuación de dispersión como series de potenciasdel parámetro espectral dadas por su serie de Taylor. Por último, se emplea la aproximación WKB(Wentzel-Kramers-Brillouin) para obtener una representación modal de las ondas cuánticas que se propagan en el interior de la guía. De esta manera se aborda la implementación numérica del método SPPS, así como la técnica de la función de Green con ejemplos de estudio. ABSTRACT: A layered quantum waveguide is a type of structure that finds practical applications in the field of semiconductors, including quantum wires and other semiconductor heterostructures. This work is based on the solution of the stationary bi-dimensional Schrödinger equation for the propagation of quantum waves in a layered structure built by a core and a cladding, whose boundaries present slow variations with respect to spacial coordinate. The slow variation is expressed in terms of a small parameter, these variations make the core of the quantum waveguide to shrink or expand along the longitudinal direction of the waveguide. The analysis is based on the formulation a spectral problem of the Sturm-Liouville type associated with the free of units uni-dimensional Schrödinger equation, and certain boundary conditions that depend on the above mentioned small parameter, where the quantum waves interact with a potencial well located in the core of the quantum waveguide. With this analysis is introduce the bound states, and is characterized by the discrete spectrum that represents the allowed energies of the system and the corresponding dispersion equation is obtained. In the same way, is introduces the scattering states and the families of generalised eigenfunctions. The solution of the stationary bi-dimensional Schrödinger equation is obtained from the Green’s function technique, wich requires the calculation of normalized eigenfunctions of the Sturm-Liouville spectral problem. Using SPPS (by its acronym: Spectral Parameter Power Series) method are expressed the normalized eigenfunctions and the dispersion equation like potencial series of spectral parameters as analytic function in terms of spectral parameter given by Taylor’s series. Finally, the WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin) aproximation is used for obtaining a modal representation inside the guide when propagating quantum waves. In this way, the numeric implementation of the SPPS method, as well as Green’s function technique is approached with some examples.