Métodos algebraicos en óptica cuántica

Abstract

RESUMEN:

En este trabajo, estudiamos modelos de la óptica cuántica cuyos Hamiltonianos se pueden escribir como una combinación lineal de los generadores {K_(+/-) ,K_0} del grupo SU(1; 1) o los generadores {J_(+/-) ,J_0} del grupo SU(2), incluso Hamiltonianos que se pueden escribir como una combinación lineal de los generadores de ambos grupos, los cuales corresponden al grupo Sp(4;R). Estos Hamiltonianos, como se muestra aquí, se pueden diagonalizar utilizando su respectivo operador de desplazamiento o mediante una combinación de ellos. Las eigenfunciones de este tipo de Hamiltonianos, con una estructura simple dada en términos de las álgebras de Lie su(1; 1) y su(2), están dadas por los estados coherentes del número de Perelomov. En particular, en este trabajo se utilizan los estados coherentes del número de Perelomov del oscilador armónico, ya que los modelos aquí presentados se pueden escribir en términos de las conocidas realizaciones bosónicas de las álgebras de Lie su(1; 1) y su(2). Por otro lado, se muestra como diagonalizar un Hamiltoniano el cual se puede escribir como una combinación lineal de los generadores del grupo Sp(4;R), en terminos de una realización bosónica, mediante el uso de los operadores de desplazamiento de SU(1; 1) y SU(2). Finalmente, estudiamos la evolución temporal de este tipo de sistemas cuánticos dependientes del tiempo calculando la fase de Berry con las soluciones exactas en el limite adiabático.

ABSTRACT:

In this work, we study quantum optics models whose Hamiltonians can be written as a linear combination of the generators {K_(+/-) ,K_0} of SU(1; 1) group o the generators {J_(+/-) ,J_0} of SU(2) group, even Hamiltonians which can be written as a linear combination of the generators of both groups corresponding to the Sp(4;R) group. These Hamiltonians, as shown here, can be diagonalized by using of their respective displacement operator o by a combination of them. The eigenfunctions of these kind of the Hamiltonians, with a simple structure given in terms of the su(1; 1) and su(2) Lie algebras, are given by the Perelomov number coherent states. In particular, in this work the Perelomov number coherent states of the harmonic oscillator are used, since the models introduced here can be put in the context of the, well known, bosonic realizations of the su(1; 1) and su(2) Lie algebras. On the other hand, it shows the diagonalization of a Hamiltonian which is written as a linear combination of the generators of Sp(4;R) group with a bosonic realization by using of the displacement operators of the SU(1; 1) and SU(2). Finally, we study the time evolution of these kind of exactly solvable time-dependent quantum systems, in this case the Hamiltonians are time-dependent which in the same way are given by a linear combination of SU(1; 1) and SU(2) generators with the help of the invariant Hermitian operator. Moreover, the adiabatic and non-adiabatic Berry phases are calculated with the exact solutions.