Estados de dispersión para un sistema cuántico sometido a interacciones puntuales

Abstract

RESUMEN: Consideremos la ecuación de Schrödinger unidimensional con un potencial q que tiene una parte regular expresada por una función acotada con soporte compacto, y una parte singular expresada formalmente en términos de distribuciones con soportes puntuales, tales como distribuciones d o d′. A partir de este tipo de potenciales se obtienen extensiones auto-adjuntas del operador de Schrödinger que incluye únicamente la parte regular a demás de ciertas condiciones en la frontera puntuales correspondientes a las interacciones puntuales, que se pueden representar de forma matricial. A partir de las extensiones auto-adjuntas y de las condiciones en la frontera puntuales se obtienen operadores no acotados cuyo espectro discreto representa las energías de los estados ligados del sistema cuántico descrito por este operador. El cálculo del espectro discreto del operador unidimensional de Schrödinger con potencial que involucra una parte regular y múltiples interacciones puntuales se realiza a partir de una ecuación de dispersión mediante, la cual se determina por medio de un método matricial recursivo. Por otra parte, se analizan los estados de dispersión de este sistema cuántico y se obtienen los coeficientes de transmisión y reflexión de las ondas cuánticas que interactúan con potenciales de este tipo. Con el objetivo de determinar estos coeficientes se introducen las matrices de monodromía y se desarrolla un método matricial a partir del cual se obtienen expresiones explicitas para los coeficientes de reflexión y transmisión, las cuales involucran el cálculo de soluciones de la ecuación de Schrödinger.Para el cálculo de tales soluciones se emplea el método SPPS, el cual conduce a expresiones en forma de series de potencias del parámetro de la energía. Esto da como resultado expresiones explícitas para las matrices de monodromía las cuales admiten una implementación computacional directa lo cual da lugar a métodos numéricos para el cálculo de los problemas de transmisión en barreras de potencial arbitrarias coninteracciones puntuales.

ABSTRACT: Let us consider one-dimensional Schrödinger equation with a potentialqhaving a regular part expressedby a bounded function with compact support, and a singular part formally expressed in terms of distributionswith point support, such as d or d′distributions. In order to deal with the singular part of the potential,self-adjoint extensions are obtained from the Schrödinger operator which includes only the regular part pluscertain point conditions corresponding to the point interactions, which can be represented in a matrix form.From the self-adjoint extensions and from the point conditions, we obtain unbounded operators whosediscrete spectrum represents the energies of the bound states of the quantum system described by thisoperator. The calculation of the discrete spectrum of the one-dimensional Schrödinger operator with apotential involving the regular part and multiple point interactions is made by means of a dispersion equation,which is determined from a recursive matrix approach.On the other hand, the dispersion states of this quantum system are analyzed, and the transmission andreflection coefficients of the quantum waves that interact with a potential of this kind are obtained. In orderto determine these coefficients, the monodromy matrices are introduced and a matrix method is developedfrom which explicit expressions for the reflection and transmission coefficients are obtained, which involvethe calculation of solutions of the Schrödinger equation.For the calculation of such solutions the SPPS method is used, which leads to expressions in the form ofpower series of the energy parameter. This leads to explicit expressions for the monodromy matrices, whichadmit a direct computational implementation, and which give rise to a numerical method for the analysis oftransmission problems that include arbitrary potential barriers with point interactions.