Método de solución multi-step y su aplicación en mecánica cuántica

Abstract

RESUMEN: Si se conoce el potencial de interacción de un sistema cuántico que no permite la resolución analítica de la ecuación Schrödiger, algunas técnicas alternativas de solución, deben ser implementadas. En esta tesis se determina numéricamente el espectro de energía de algunos sistemas cuánticos con potenciales exactamente solubles. Con ello el espectro numérico obtenido es comparado con el correspondiente espectro analítico.

El método consiste en aproximar el potencial del sistema, mediante una sucesión de escalones de potencial. Como resultado, se obtiene también una fórmula recursiva para los coeficientes de reflexión y transmisión correspondientes al potencial hecho de escalones [14]. Desde luego, a medida que el número de escalones aumenta, el potencial de escalones prácticamente coincide con el potencial del sistema. Asimismo, los coeficientes de reflexión y transmisión se aproximan a los que corresponden al potencial que ha sido discretizado.

Con estos coeficientes y de acuerdo con propiedades de la matriz de dispersión (S-matriz) [15], el espectro de energía de un sistema cuántico puede ser obtenido a través de los polos del coeficiente de reflexión. Se discute en particular esta técnica para un potencial que no es exactamente soluble, pero que ha sido resuelto con otras técnicas numéricas [1-13]. Mas aun, se describe la forma en que el método incluye a potenciales que de antemano contienen discontinuidades finitas en algunos puntos. El caso de potenciales singulares también es considerado.

ABSTRACT: If the interaction potential of the classical system that does not allow the analytical resolution of the Schrödinger equation is known, some alternative solution techniques must be implemented. In this thesis the energy spectrum of some quantum system with exactly soluble potentials is determined numerically. With this, the numerical spectrum obtained is compared with the corresponding analytical spectrum.

The method consists in approximating the potential of the system, through a succession of potential steps. As a result, a recursive formula is also obtained for the reflection and transmission coefficients corresponding to the potential made of steps potentials [14]. In fact, as the number of steps increases, the potential of steps practically merges with the potential of the system. Likewise, the reflection and transmission coefficients approximate to the corresponding potential that it has discretized.

This technique is discussed in particular for a potential that is not exactly soluble, but that has been solved with other numerical techniques [1- 3]. Furthermore, the way in which the method includes potentials that contain finite discontinuities at some points is described. The case of singular potentials is also considered.