Teoría de puntos fijos de operadores totalmente continuos no lineales y su aplicación a ecuaciones diferenciales

Abstract

RESUMEN:

Este trabajo presenta la aplicación de los teorema de puntos fijos, para demostrar la existencia de la solución de algunos problemas de ecuaciones diferenciales no lineales. El trabajo consiste en 5 capítulos y se abordan de la siguiente manera: En el primer capítulo se dan los preliminares de Topología Algebraica, herramienta utilizada en este trabajo para llevar acabo la demostración del Teorema de Brouwer, presentando diferentes demostraciones. En el segundo capítulo presentamos los el Teorema de Invarianza Topológica de Grupos de Homología, demostración estandar basada en la subdivisión baricéntrica. En este capítulo también presentamos algunos ejmplos, del cálculo de los grupos de homología de Esferas, Bolas y el Espacio Ocho. En el tercer capítulo exponemos los conceptos importantes de Aplicaciones Homotópicas, Espacios Homotopicamente Equivalentes, Grado de una Aplicación, entre otros. El objetivo de este capítulo es demostrar el Teorema de punto fijo de Lefschetz, generalizaci ón del Teorema de punto fijo de Brouwer. En el cuarto capítulo abordamos los Teoremas de puntos fijos clásicos, Banach, Brouwer, Schauder y Schaefer. La demostración del Teorema de punto fijo de Brouwer, que es base en la demostración de los Teorema de puntos fijos de Schauder y Schaefer por ello su importancia, se basa en las propiedades de los Espacios Retractos y los grupos de homologa de la Esfera y la Bola. En el último capítulo se aplican los resultados obtenidos del capítulo 4, en la demostraci ón de la solución del Problema con Condición de Frontera, Problema Estacionario para la Ecuación de Navier-Stokes y el Problema de Ecuaciones Elópticas no Lineales. En cada capítulo agregamos demostraciones de Teoremas y ejemplos que no se presentan en las referencias citadas, además incluimos cantraejemplos de Teoremas al quitar alguna hipótesis.

ABSTRACT:

This work shows an application of the fixed-point theorem, in order to show the existence of the solution of some non-linear dfferential equations problems. This work is formed by 5 chapters addresses in the following way: In the 1st chapter some algebraic topology preliminaries are given. We used them in order to prove Brouwer fixed-point theorem. Various proofs are presented. The 2nd chapter addresses the Topological invariance of homology groups theroem, the standar proof based in barycentric subdivision is given. We show some examples of the homology groups of spheres, balls y eight space. The 3rd chapter explains the most important concepts of Homotopic maps, Homotopy spaces equivalent , Degree of the map, among others.The aim of this chapter is demonstrate the Lefschetz fixed-point theorem, wich is Brouwer fixed-point theorem generalization. In chapter 4 we approach the classical fixed-point theorems, such as Banach, Brouwer, Schauder y Schaefer. The importance of the Brouwer fixed-point theorem proof is that it is the base of Schauder and Schaefer fixed-point theorems demonstration. It relies on the retract space properties and on the homology groups of the sphere and ball. Finally, in the last chapter we apply the obtained results of chapter 4 in the solution boundary value problems proof, Stationary problem for the general nonlinear Navier- Stokes equations and in the Problem Nonlinear Elliptic Equations. Every chapter contains the theorems proofs and some examples that are not included in the cited references, we also add counterexamples of the Theorems when we remove some hypothesis.