RESUMEN: En la práctica escolar los profesores de matemáticas utilizan gráficas cartesianas o las representaciones figurales para la enseñanza de las funciones y el análisis de su comportamiento. Pero hay evidencias de que existen muchas concepciones que se generan en la mente de los estudiantes, respecto de estas representaciones, que son inaceptables en la matemática (Wainer, 1992; Mc Dermot, Rosenquist, Van Zee, 1987; Dolores, 1998; Dolores y Guerrero, 2002; Dolores, Alarcón y Albarrán, 2003; Dolores, 2003). Esta problemática tiene implicaciones en el proceso de enseñanza y aprendizaje de la matemática de las variables. Por nuestra parte, suponemos que esas concepciones pueden ser removidas de la mente de los estudiantes para acercarlas a concepciones aceptables mediante un proceso sistemático de enseñanza. En razón de lo anterior, esta investigación tiene como objetivo fundamental analizar la estabilidad y cambio de las concepciones alternativas de los estudiantes acerca del análisis de funciones en condiciones instruccionales determinadas. En el contexto global este trabajo se fundamenta en las ideas que acerca del Pensamiento y Lenguaje Variacional se han generado en el grupo de investigadores organizados en torno del Comité Latinoamericano de Matemática Educativa (CLAME). En un contexto específico está edificado sobre la base de las concepciones alternativas y el cambio conceptual intencional. En nuestro país varios investigadores (Cantoral y Farfán, 2000; Dolores 2000) realizan sus trabajos ocupándose de la línea de investigación denominada Pensamiento y Lenguaje Variacional la cual estudia la articulación entre la investigación y las prácticas sociales que dan vida a la matemática de la variación y el cambio en los sistemas didácticos, atendiendo a una aproximación sistémica que permita incorporar las cuatro componentes fundamentales en la construcción del conocimiento: su naturaleza epistemológica, su dimensión sociocultural, los planos de lo cognitivo y los modos de transmisión vía la enseñanza. Respecto de las concepciones alternativas, de acuerdo a Mevarech y Kramarsky (1997) los niños desarrollan ideas acerca de su mundo, desarrollan significados para palabras usadas en la ciencia y desarrollan estrategias para obtener explicaciones acerca de cómo y por qué las cosas se comportan como tales. Estas categorías de creencias de los niños, teorías, significados, y explicaciones, forman las bases para el uso del término concepciones de los estudiantes. Cuando esas concepciones entran en conflicto con los significados aceptados, aparecen las concepciones alternativas. Por otra parte, desde el punto de vista didáctico las concepciones alternativas no pueden permanecer indefinidamente en la mente de los estudiantes; debieran sufrir transformaciones como consecuencia de la puesta en práctica de diseños instruccionales, aunque algunos investigadores advierten que algunas concepciones alternativas son resistentes al cambio y otras no. Respecto del cambio conceptual Pozo (1996) plantea que: • No basta con exponer al alumno un modelo explicativo mejor, hay que hacerle ver que es mejor • Para que el alumno pueda comprender la superioridad de la nueva teoría es preciso enfrentarle a situaciones conflictivas que supongan un reto para sus ideas. • Los conceptos alternativos de los alumnos suelen ser implícitos. Un primer paso para su modificación será hacerlos explícitos mediante su aplicación a problemas concretos. Otro elemento adicional de los cambios conceptuales radica en la intencionalidad de esos cambios. El cambio conceptual intencional involucra el intento deliberado de una persona por un cambio radical de un sistema conceptual a otro porque son seducidos por el poder de ese nuevo sistema conceptual, o porque perciben algún defecto profundo en su visión actual (Ferrari y Elik, 2003). Desde esta perspectiva, bajo condiciones del mundo real los nuevos y viejos conceptos son influenciados por los moderadores y mediadores del cambio conceptual. Los mediadores estructuran el enfoque completo que alguien posee de un concepto en particular; los moderadores determinan la facilidad o la dificultad con que el individuo intentará cambiar los conceptos existentes. Con el recuento de las ideas anterior se evidencia el papel relevante que posee el estudio de las concepciones alternativas de los estudiantes sobre el tema del análisis de funciones. En la medida en que se desarrolle investigación encaminada a remover estas concepciones para sustituirlas por otras acordes con el conocimiento científico, estaremos en posibilidad de allanarles el camino a los estudiantes en situación escolar para que, cuando llegue el momento de enfrentarse con los conceptos propios de la matemática del cambio, cuenten con la estabilidad suficiente en sus concepciones para llevar a cabo el análisis gráfico de funciones de acuerdo con las concepciones aceptadas por la disciplina. Para alcanzar el objetivo de esta investigación nos propusimos la realización del siguiente programa metodológico: indagación de los antecedentes; diseño de las actividades de incidencia e instrucción que a su vez consistieron en: un diagnóstico, formación de las condiciones de partida, diseño de situaciones didácticas, puesta en escena de los diseños instruccionales y análisis de los resultados; finalmente a la luz de los resultados de estas actividades se realizó el análisis de la estabilidad o cambio de las concepciones alternativas sujetas a estudio, a partir del cual concluimos que: • El grado de estabilidad o cambio de las diferentes concepciones alternativas identificadas es variable • Algunos estudiantes parecen solo atender a la curva de la función, e ignoran la relación de covariación presente en las gráficas cartesianas. Por tanto, la carencia de razonamiento covariacional en ellos, pareciera ser el origen de algunas de las concepciones alternativas identificadas • Los cambios en las concepciones no son lineales; se dan en distintos sentidos; hay avances y retrocesos
ABSTRACT: In school practice, mathematics professors use cartesian graphics figural representations for teaching functions and analysis of its behavior. But there’s evidence of several conceptions which grow in the students minds regarding these representations which are unacceptable in mathematics (Wainer, 1992; Mc Dermot, Rosenquist, Van Zee, 1987; Dolores, 1998; Dolores & Guerrero, 2002; Dolores, Alarcón & Albarrán, 2003; Dolores, 2003). These questions have implications on teaching and learning process of the mathematics of variables. As for us, we assume these conceptions can be removed from students mind in order to approach them to acceptable conceptions by means of a systematic teaching process. In relation to such thought, this research has as a fundamental goal to analyze the stability and change of the students alternative conceptions regarding to the analysis of functions in particular instructional conditions. In a full context this work is based on the ideas which about the Thinking and Variational Language have come out from the group of researchers organized around the Educational Mathematics Latinoamerican Committee (CLAME). In a specific context it is built on the foundations of the alternative conceptions and intentional conceptual change. In our country several researchers carry out their projects focusing on the research line called Thinking and Variational Language which studies the link between the didactic systems, attending to a systematic approach which allows to include the four basic elements in the construction of knowledge: its epistemological nature, its sociocultural dimension, the cognitive frames and the models of transmission through teaching. Regarding to the alternative conceptions, as for Mevarech & Kramarsky (1997) children develop ideas about their world, they develop meanings for words used in science and create strategies to obtain explanations about how and why things behave the way they do. These categories of the children’s beliefs, theories, meanings and explanations make the basis for the use of the term students conceptions. When those conceptions struggle with the other accepted ones, the alternative conceptions then appear. On the other hand, from the didactic point of view, the alternative conceptions can not stay indefinitely in the students minds, they should suffer transformations as a consequence of the practice of instructional designs even though some researchers observe that some alternative conceptions are resistant to change and others are not. Regarding to the conceptual change Pozo (1996) think that: It’s not enough to present the student a better explanatory model, we have to make him see what is better With the purpose of helping student understand the superiority of the new theory it is fundamental to face him to conflictive situations which may become real challenges to his ideas. Students alternative concepts are usually implicit. A first step to their modification will be to make them explicit though their use in concrete problems. Other additional element of the conceptual changes lies on the purpose of those changes. The intentional conceptual change involves the deliberate attempt of a person looking for a radical change from a conceptual system to another because they are captivated by the power of such new conceptual system, or because they perceive a deep defect on their present vision (Ferrari & Elik, 2003). From this perspective, under conditions of the real word the new and old concepts are influenced by moderators and mediators of the conceptual change. The mediators create the whole approach which someone has about a particular concept; moderators define the simplicity or difficulty the individual will have in order to change the present concepts. With the inventory of the past ideas it is easy to see how important is the relevant role that the study of students alternative conceptions on the topic of the analysis of functions. As research is developed with the purpose of removing these conceptions in order to substitute them in agreement with the scientific knowledge, we will have the chance to make even the way to the students in school period, so that when the time comes to face their own concept of the mathematics of change, they have the sufficient stability in their conceptions to be able to make the analysis of functions related to the accepted conceptions by the discipline. In order to reach the objective of this research we set out the design of the following methodological program: background inquiry, design of the activities of incidence and instruction which at the same time are: a diagnosis, a design of the departure conditions of the instructional designs and analysis of results; finally, to the light of these activities we made the analysis of stability or change of alternative conceptions to be studied, from which we conclude that: The degree of stability of the different identified alternative conceptions is variable. Some students seem to pay attention to the curve of the function and ignore the relationship of co–variation seen in Cartesian graphics. Therefore the lack of co– variational reasoning in them seems to be origin of the identified alternative conceptions. Changes of the conceptions are not linear; they happened in different ways; there are advances and turn backs.
