Análisis del procedimiento de muestreo reconstrucción de procesos aleatorios a través de filtros de Chebyshev

Abstract

RESUMEN: En la Teoría de las comunicaciones, existen diversos problemas que deben ser resueltos o, en su defecto, atendidos. Dentro de estos, existe uno que es fundamental, se trata del problema de reconstrucción de procesos aleatorios, el cual está sujeto a las realizaciones muestreadas del mismo. Existen aportaciones en la reconstrucción de procesos aleatorios, dentro de las cuales se encuentran el teorema de Balakrishnan, el cual es ejercido a gran escala y citado con frecuencia. Sin embargo, este trabajo y algunas otras generalizaciones del teorema del muestreo presentan los siguientes detalles: a) son principalmente válidas para procesos limitados en banda; b) la función de densidad espectral de los procesos está caracterizada por la respuesta de un filtro pasa-bajas ideal; c) no se especifica la función de densidad de probabilidad de los procesos; d) la función de interpolación que multiplica a cada muestra es del tipo 𝑆𝑖𝑛𝑐(𝑥); e) se considera un número infinito de muestras; f) y no estima el error de reconstrucción. Estos detalles muestran algunas limitaciones y por lo tanto se presentan algunas dificultades para llevarlo a la práctica. De esta manera, el presente trabajo no pretende dar respuesta final al problema del procedimiento de muestreo y reconstrucción de procesos aleatorios, especialmente los gaussianos, sino atender el problema desde otra perspectiva, la cual está fundamentada en un algoritmo óptimo de reconstrucción, basado en la regla de la esperanza matemática condicional. Este algoritmo, permite conocer las funciones de interpolación o funciones básicas, la función de reconstrucción y la función de error de reconstrucción utilizando diferentes estimaciones de la función de covarianza a partir de filtros de Chebyshev y un número arbitrario de muestras. Finalmente, se muestran las ventajas que tiene el algoritmo al aplicarlo al procedimiento de muestreo y reconstrucción de procesos aleatorios gaussianos. Aunado a lo anterior, se evaluó la calidad del algoritmo de reconstrucción al comparar diferentes resultados, usando distintas funciones de interpolación con diferente número de muestras. ABSTRACT: In Communications Theory, there are several problems that must be solved or, failing that, addressed. Among these, there is one that is fundamental: The problem of reconstruction of random processes, which is subject to the sampled realizations of the same. There are contributions in the reconstruction of random processes, among which is Balakrishnan’s theorem, which is exercised on a large scale and frequently cited. However, this work and some other generalizations of the sampling theorem have the following details: a) they are mainly valid for band-limited processes; b) the spectral density function of the processes is characterized by the response of an ideal low-pass filter; c) the probability density function of the processes is not specified; d) the interpolation function that multiplies each sample is of the Sinc(x) type; e) an infinite number of samples is considered; f) and it does not estimate the reconstruction error. These details show some limitations and therefore there are some difficulties to put it into practice. Thus, the present work does not intend to give a final answer to the problem of the sampling and reconstruction procedure of random processes, especially gaussian ones, but to approach the problem from another perspective, which is based on an optimal reconstruction algorithm, based on the condicional mathematical expectation rule. This algorithm allows to know the interpolation functions or basic functions, the reconstruction function and the reconstruction error function using different estimates of the covariance function from Chebyshev filters and an arbitrary number of samples. Finally, the advantages of the algorithm when applied to the procedure of sampling and reconstruction of Gaussian random processes are shown. In addition, the quality of the reconstruction algorithm was evaluated by comparing different results, using different interpolation functions with different number of samples.