Higher topological complexity in real flag manifolds

Abstract

RESUMEN:

En este trabajo de tesis se abordan dos problemas relacionados con el concepto de Complejidad Topológica (TC por sus siglas en inglés) el cual es un invariante algebraico relacionado con el problema de planeación motriz en robótica. TC(X) mide la discontinuidad de los algoritmos de planeación motriz en un espacio de estados X. Hallar este invariante requiere de la construcción explícita de planes motrices óptimos, por lo que hallar su valor de manera directa puede complicarse. En este trabajo se usan métodos indirectos los cuales acotan su valor; arriba por la dimensión y por abajo por medio de cálculos cohomológicos del espacio X. Este invariante se puede generalizar a un nuevo invariante TCs que para el caso s = 2, coincide con TC. En la primera parte de la tesis se trabaja con el problema de hallar TC(F(1k;m)) donde F(1k;m) es una variedad de banderas semi-completa, las cuales son generalizaciones del espacio proyectivo y de las grassmanianas; además F(1k;m) modela ciertos espacios de configuraciones. En la segunda parte de la tesis se desarrolla una generalización del Teorema de Farber, Yuzvinsky y Tabachnikov el cual demuestra que, para casi todo n, TC(RPn) = Imm(RPn), donde la segunda parte de la ecuación es la dimensión de inmersión suave de RPn, cuyo cálculo explícito es un problema abierto en matemáticas. La generalización que buscamos es para TCs(RPn) con s ≥ 3.

ABSTRACT:

This thesis deals with two problems related to the concept of Topological Complexity (TC) which is an algebraic invariant connected with the motion planning problem in robotics. TC(X) parameter measures the order of discontinuity associated to the algorithm in motion planning of a state space X. Determining this invariant requires explicit optimal constructions of motion plannings therefore, to obtain its value in a direct way may be complicated. In this work we use indirect methods to bound the value of TC(X); upper bounds were obtained by the dimension and lower bounds by means of cohomological calculations of the space X. TC(X) invariant can be generalized as a new invariant, TCs, so that in the case s = 2, TC2 is equal to TC. First part of this thesis concerns with the problem of finding TC(F(1k;m)), where F(1k;m) is a semicomplete real ag manifold, which generalizes projective space and the Grassmannians; besides F(1k;m) models certain configuration spaces. Second part of this thesis carries out a generalization of Farber, Yuzvinsky and Tabachnikov's Theorem, according to which TC(RPn) = Imm(RPn) for almost all n, where Imm(RPn) is the smooth immersion dimension of RPn, which its explicit calculation is an open problem in mathematics. We look for the generalization for TCs(RPn) with s ≥ 3.