Procesos de Lévy en el análisis de variables financieras, bajo un enfoque de procesos de varianza gama

Abstract

RESUMEN: En este trabajo de tesis se considera que las metodologías o los modelos existentes para el pronóstico de precios, no son lo más realistas que se esperaría, incluso esa debilidad técnica es reconocida por economistas de todo el mundo. Por ejemplo, después de la crisis del año 2008, en The Financial Crisis and the Systemic Failure of Academic Economics, se dijo que…“por supuesto que se ha logrado un progreso considerable al pasar a modelos más refinados, por ejemplo, impulsados por procesos de Lévy de ‘colas pesadas’…” (Colander, y otros, 2009) Pues capturan mejor la volatilidad intrínseca de los mercados. En modelos como el de Black-Scholes (1997) no se refleja la realidad completa del mercado, lo que imposibilita el considerar los saltos de las variables; por ejemplo, de los precios de activos. Al no considerar dichos saltos, tampoco se capturan las colas pesadas y los excesos de curtosis. Para mejorar el modelo de Black-Scholes, se propusieron los modelos de Lévy a finales de la década de 1980, y se han perfeccionado para tener en cuenta las diferentes características de los mercados. Por lo que las investigaciones sobre los procesos de Lévy logran describir la dinámica de los rendimientos de activos. Bajo el contexto anterior, el objetivo de este trabajo es capturar la dinámica del mercado de forma realista, considerando las características que presentan las series financieras como excesos de curtosis y colas pesadas, mediante modelos que de acuerdo con su evidencia estadística muestren buenas propiedades analíticas. Una forma de hacerlo fue considerar procesos estocásticos de Lévy dados sus incrementos estacionarios e independientes que tienen buenas propiedades analíticas y reproducen bastante bien las características estadísticas de los datos financieros. Con la hipótesis de esta investigación se considera que es posible modelar series financieras con problemas de colas pesadas y excesos de curtosis de una forma más realista al replicar las propiedades estadísticas y cumplir con el principio de ergodicidad cuando se incorporan procesos estocásticos de Lévy tipo varianza gama. El hecho de incorporar procesos Lévy para variables financieras es una tendencia que ha aportado mayores beneficios que otro tipo de metodologías que son más limitadas y aunque existen diferentes procesos de Lévy, esta tesis considera únicamente procesos de Lévy de tipo VG porque dentro de los modelos son muy útiles ya que son más amplios que el movimiento browniano al considerar la asimetría y curtosis. En vista de que el supuesto que se asume cuando se emplea la varianza de una variable aleatoria normal no considera el problema de las colas pesadas al modelar la volatilidad, en el capítulo 1 se analiza la metodología de un modelo conducido bajo un proceso varianza gama que si considera ese problema al modelar la volatilidad. Por otra parte, el supuesto de Gauss donde distribución Gaussiana capta bien la distribución del ruido ya no es suficiente a la hora de modelar series cuyas características en el mundo real no asumen un comportamiento normal, incluso cuando la evidencia empírica muestra la presencia volatilidad no constante y clusters de volatilidad por lo que en el capítulo 2 y 3 se logra evidenciar que los procesos lineales impulsados por procesos de Levy pueden mostrar saltos y así permitir el modelado de cambios abruptos a través de un modelo de media móvil autorregresivo continuo CARMA conducido por un proceso varianza gama. Dado que la mayoría de las metodologías en tiempo discreto no permiten dar a conocer en sus pronósticos cuántas veces se pueden presentar los saltos abruptos de la volatilidad, además de las otras características que presentan las series financieras en su pronóstico, incluida la autocorrelación. En los capítulos 4 y 5 se aborda dicho desafío, en donde se comprueba si un modelo en tiempo continuo como el COGARCH puede mejorar los pronósticos obtenidos por las metodologías anteriores y si es más realista de acuerdo con su evidencia y las series financieras empleadas. En la sección final se describen los hallazgos obtenidos con la investigación y desarrollo de esta tesis. ABSTRACT: In this thesis is considered that existing methodologies or models for price forecasting are not as realistic as one would expect; economists worldwide recognize even that technical weakness. For example, after the crisis of 2008, The Financial Crisis and the Systemic Failure of Academic Economics said that…“ Of course, considerable progress has been made by moving to more refined models with, e.g., ‘fat-tailed’ Levy processes as their driving factors…” Colander, et al. (2009) because such models better capture the intrinsic volatility of markets. Models such as Black-Scholes (1997) do not reflect the whole reality of the market, which makes it impossible to consider the jumps of variables; for example, in asset prices. By not considering such jumps, heavy tails and excess kurtosis are also not captured. To improve the Black-Scholes model, Lévy models were proposed in the late 1980, and have been refined to consider the different characteristics of the markets. So researches on Lévy's processes can describe the dynamics of asset returns. Conforming to the previous, the objective of this work is to capture market dynamics realistically, considering the characteristics presented in the financial series such as excess kurtosis and heavy tails, using models that, according to their statistical evidence, show good analytical properties. One way to do this was to consider Lévy's stochastic processes given their stationary and independent increments that have good analytical properties and reproduce the statistical characteristics of the financial data quite well. With the hypothesis of this research, it is considered that it is possible to model financial series with problems of heavy tails and excess kurtosis in a more realistically through replicate the statistical properties, complying with the ergodicity principle when incorporating Lévy stochastic processes like variance gamma process. Driving Lévy processes in financial variables is a trend with more significant benefits than other methodologies, which are more limited and although there are different Lévy processes, This thesis considers only Lévy-VG processes because they are beneficial within the models as they are broader to consider asymmetry and kurtosis than Brownian motion. Because the assumption that is assumed when using the variance of a normal random variable does not consider the problem of heavy tails when is modeling volatility, then chapter 1 analyzed the methodology of a model driven by a variance process that considers the above problem when modeling volatility. On the other hand, the Gauss assumption where the Gaussian distribution captures the distribution of noise well is no longer sufficient when modeling series whose real-world characteristics do not assume normal behavior. Even when empirical evidence shows the presence of non-constant volatility and clusters of volatility, so in Chapter 2 and 3, it is achieved to prove that linear processes driven by Levy processes can show jumps and thus allow the modeling of abrupt changes through a continuous autoregressive moving average CARMA model driven by a variance gamma process. Since most discrete-time methodologies do not allow to known in forecasts how many times abrupt volatility jumps can occur, in addition to the other characteristics that financial series present in their forecast, including autocorrelation. Chapters 4 and 5 approach this challenge, which shows if a continuous-time model such as COGARCH can improve the forecasts obtained by previous methodologies and if it is more realistic, based on its evidence and the financial series used. The final section describes the findings obtained from the research and the progress linked to the aim of this thesis.