Un estudio socioepistemológico sobre el método de Euler como generador de procedimientos y nociones del cálculo en el contexto del estudio del cambio

Abstract

RESUMEN: Esta investigación forma parte de un proyecto de trabajo colegiado sobre la conceptualización de una propuesta de qué enseñar y cómo enseñar Cálculo. La propuesta busca promover en el aula el surgimiento y evolución de los procedimientos y conceptos básicos del Cálculo de tal forma que permita apreciar de manera justa la conformación del Cálculo como sistema conceptual lógicamente estructurado. Esta propuesta responde a una visión amplia de la Matemática acorde con la cual su papel como actividad humana para dar solución a problemas le confiere a esta ciencia una importancia crucial para el estudio de otras áreas del conocimiento. La propuesta se desarrolla para el nivel superior de educación, particularmente, para una institución educativa del norte de México, y responde al carácter instrumental que poseen los cursos del sector curricular de Matemáticas dentro del programa de estudios de las diferentes carreras universitarias. En su diseño se propone el integrar, didácticamente hablando, un acercamiento newtoniano con un acercamiento leibniziano a la génesis del Cálculo, bajo la convicción de que un discurso tal ofrece mayores oportunidades para que el estudiante se apropie de las ideas que subyacen a la construcción de las nociones y procedimientos del Cálculo en su papel de herramientas para resolver problemas reales relacionados con el estudio del cambio. El propósito del presente trabajo es consolidar la implantación de dicha propuesta en su primer parte, aquélla en la cual la práctica de predicción del valor de una magnitud que está cambiando con respecto a otra funciona como preámbulo para introducir el acercamiento newtoniano en el discurso escolar. En esa introducción juega un papel fundamental la incorporación de cierto procedimiento numérico que permite aproximar el valor de la magnitud. El método de Euler, nombre con el cual se identificará finalmente ese procedimiento en el aula, ha sido introducido en el discurso escolar del Cálculo permitiendo la incorporación simultánea de las nociones de razón de cambio y cambio acumulado, propiciando con ello que las nociones de derivada e integral se vean implicadas desde el inicio de un primer curso de Cálculo. El efecto de esta incorporación simultánea y temprana de dichas nociones plantea nuevas preguntas por atender en el afán de robustecer la propuesta. El indagar acerca de las condiciones que afectan la apropiación en el estudiante de un procedimiento numérico para aproximar el valor de una magnitud que está cambiando se convierte en un problema de investigación. Interesa profundizar en el análisis de este problema situado justo en el escenario donde tiene lugar la interacción entre profesor, estudiantes y contenido matemático, es decir, en el aula. El objetivo de este trabajo consiste en: 1) diseñar actividades para la introducción del paradigma newtoniano a través del procedimiento numérico reconocido como Método de Euler; 2) llevar a efecto una secuencia de escenificaciones que incluyan dichas actividades en el primer curso de Matemáticas para Ingeniería; 3) capturar información para apreciar la efectividad de la adquisición de dicho procedimiento en cada escenificación y que sugiera elementos para su mejora y 4) fortalecer el establecimiento de una secuencia didáctica que funcione como epistemología de las nociones de razón de cambio y cambio acumulado. Tanto la propuesta aludida como este trabajo se enmarcan en la Aproximación Socioepistemológica a la investigación en Matemática Educativa al atender a una epistemología de las prácticas más que de los conceptos. Congruente con este acercamiento, se considera la actuación de manera sistémica de las cuatro dimensiones del conocimiento: cognitiva, didáctica, epistemológica y social; dando por hecho que este último aspecto, el social, reformula cada una de las dimensiones anteriores e incorpora a las prácticas sociales y con ello a la actividad humana con intencionalidad. Con fundamento en marcos de referencia apropiados se realizan Análisis Epistemológico, Didáctico y Cognitivo, delineando un método para abordar el problema de investigación. Dentro del Análisis Epistemológico Cognitivo se incluye la revisión de estudios que reportan elementos históricos relacionados con el procedimiento numérico en cuestión y de dificultades cognitivas relacionadas, además de reportes de investigación que tratan el Método de Euler en relación con el estudio del cambio. En el Análisis Didáctico se sitúa el papel que juega este procedimiento en el currículo actual, en particular, en Ecuaciones Diferenciales; el interés es distinguir el papel que juega este Método en la estructura de la propuesta para introducir el acercamiento newtoniano. Por último, la parte medular de este trabajo se sitúa en el Análisis Cognitivo y Didáctico, donde se realiza la investigación cualitativa que contempla el seguimiento en tres semestres de otoño (agosto-diciembre) del proceso de apropiación del Método de Euler situado en el aula y guiado por actividades que se ven refinadas a lo largo de este proceso y que finalmente conformarán la secuencia didáctica, producto de este trabajo de investigación. Como resultado se tiene la secuencia didáctica para la introducción del acercamiento newtoniano en la enseñanza del Cálculo. El establecimiento de las condiciones de aplicabilidad que permiten su implementación y el análisis de las dificultades cognitivas susceptibles en ese proceso acompañan este resultado. Con lo anterior se aporta un material educativo que apoya la innovación en la enseñanza, aprendizaje del Cálculo, actuando bajo la convicción de que la investigación educativa debe asumirse como una actividad rectora de la práctica docente, que compromete a la toma de decisiones y que sustenta la innovación.

ABSTRACT: This research is part of a collegial working on the conceptualization of a proposal for what to teach and how to teach Calculus. The proposal seeks to promote in the classroom, the emergence and development of procedures and basic concepts of calculus in such a way as to fairly assess the formation of Calculus as a conceptual system structured logically. This proposal responds to a broad vision of mathematics according to which its role as human activity to solve problems makes this science of crucial importance for the study of other areas of knowledge. The proposal is developed for higher level of education, particularly for an institution in northern Mexico, and responds to the instrumental nature of the courses in the curriculum of Mathematics for the different university programs offered. In its design intends to integrate, educationally speaking, a Newtonian approach with a Leibnizian approach to the genesis of Calculus, in the belief that a discourse of this kind offers greater opportunities for the student to take ownership of the ideas behind the construction of notions and procedures of Calculus in their role as tools to solve real problems related to the study of change. The purpose of this paper is to consolidate the implementation of the proposal at its first part, one in which the practice of predicting the value of a quantity that is changing with respect to other works as a prelude to introducing the Newtonian approach in school discourse. In this introduction plays a key role incorporating a numerical procedure to approximate the value of magnitude. Euler's method, the name which finally identifies this procedure in the classroom, has been introduced in the calculation of the school discourse allowing simultaneous incorporation of the notions of rate of change and cumulative change, thereby fostering the notions of derivative and integral being involved from the beginning of a first course in Calculus. The effect of early and simultaneous incorporation of these notions raises new questions to be addressed in an effort to strengthen the proposal. The inquiring about the conditions affecting the student ownership of the numerical procedure to approximate the value of the quantity that is changing becomes a research problem. The interest on further analysis of this problem lies in the very stage where the interaction takes place between teachers, students and mathematical content, in the classroom. The aim of this work consists of: 1) design activities for the introduction of the Newtonian paradigm through numerical procedure known as Euler's method, 2) carry out a sequence of performances that include such activities in the first course of Mathematics for Engineering careers, 3) capture data to assess the effectiveness of the acquisition of this procedure in each staging and to suggest items for improvement and 4) strengthen the establishment of a teaching sequence that functions as the epistemology of the notions of rate of change and cumulative change. Both, the aforementioned proposal and this work are framed within the Socioepistemological approach to research in Mathematics Education in responding to an epistemology of practice rather than concepts. Consistent with this approach is considered a systemic action of the four dimensions of knowledge: cognitive, didactical, epistemological and social, assuming that the latter, social, restates each of the above dimensions and incorporates social practices and with them, the human activity so intentionally. Based on appropriate frameworks are made Epistemological, Didactic and Cognitive Analysis, outlining a method for addressing the research problem. Within the Cognitive Epistemological Analysis is included the review of studies that report historical items related to the numerical procedure under consideration, and the related cognitive difficulties, as well as reports dealing with the Euler's method in connection with the study of change. In the Didactic Analysis lies the role of this procedure in the current curriculum, in particular, Differential Equations, the interest is to distinguish the role of this method in the structure of the proposal to introduce the Newtonian approach. Finally, the core of this work is on the Cognitive and Didactic Analysis, where qualitative research is conducted that includes the monitoring in three semesters in the fall (August-December) of the appropriation process of the Euler's method located in the classroom and guided by activities that are refined during this process so that eventually becomes the teaching sequence, as the product of this research. As a result we have the teaching sequence for introducing the Newtonian approach in the teaching of Calculus. The establishment of the applicability conditions that allow its implementation and analysis of the cognitive difficulties in this process likely accompany this result. With the above is provided a didactic material that supports innovation in teaching and learning Calculus, acting under the belief that educational research must be assumed as a leading activity of teaching practice, which commits the decision-making and supports innovation.