El papel de la modelación en la enseñanza de conceptos abstractos del álgebra lineal

Abstract

En el aprendizaje del álgebra lineal se observan problemas debido a que los conceptos resultan a menudo complejos por su alto nivel de abstracción. Los temas de combinación lineal, conjunto generador, espacio generado, independencia y dependencia lineal, base y dimensión y valores, vectores y espacios propios son muy abstractos, pero importantes debido a sus múltiples aplicaciones dentro y fuera de las matemáticas. Esta tesis presenta una propuesta didáctica para el aprendizaje de dichos conceptos mediante una experiencia en clase apoyada en dos marcos teóricos: Modelos y Modelación y Teoría APOE. El primero se utilizó para diseñar problemas de modelación y el segundo en el diseño de actividades conceptuales. Los problemas de modelación motivan a los alumnos a usar sus conocimientos previos que les puede ser útiles para la solución del problema que enfrentan, pero además necesitan construir nuevos conceptos para resolver el problema. El uso de la Teoría APOE permite analizar y estudiar las construcciones mentales que usan los alumnos durante el proceso de solución. Se realiza un análisis de la puesta en práctica de la propuesta didáctica con alumnos de nivel universitario. Se presenta dicho análisis y los resultados obtenidos a partir del trabajo de los alumnos con la propuesta realizada. Se utilizaron descomposiciones genéticas y un problema de modelación diseñados por otros investigadores para los conceptos relacionados con la combinación lineal. Sin embargo, para el tema de valores, vectores y espacios propios no se encontró en la literatura ninguna propuesta, por lo que se diseñaron tres problemas de modelación y una descomposición genética que mostró ser un modelo válido para predecir y describir las construcciones necesarias para el aprendizaje de dichos conceptos. Los resultados validan la descomposición genética propuesta y muestran evidencias del aprendizaje de los alumnos. En particular ponen de manifiesto la posibilidad de construir una concepción objeto de los conceptos en estudio y la construcción de la mayoría de los alumnos de una concepción proceso. ABSTRACT Learning linear algebra often causes problems to students particularly due to the complexity of the concepts involved and their high level of abstraction. Linear combination, spanning set, span, linear independence and dependence, basis and dimension, and eigenvalues, eigenvectors, and eigenspaces are very abstract, but important concepts because of their multiple applications inside and outside of mathematics. This thesis considers a didactical approach to learn these concepts by means of a classroom experience based on two theoretical frameworks: Models and Modeling and APOS Theory. The first was used to design modeling problems and the second to design conceptual activities. The modeling problems motivate students both to use their previous knowledge and to build new concepts to solve the problem. The use of APOS Theory allows researchers to analyze and study the mental constructions that the students’ use when modeling problems. The didactical design was applied at university level. The analysis and results presented are based on the students’ work on the didactical design. Genetic decompositions and a modeling problem designed by other researchers were used for the concepts related with the linear combination. However, as no genetic decomposition was found in literature, for eigenvalues, eigenvectors, and eigenspaces, a genetic decomposition and three modeling problems were designed. The genetic decomposition proved to be a valid model to predict and describe the necessary constructions for the learning of these concepts. The results validate the proposed genetic decomposition and show evidence of students’ learning. They show how students can construct an object conception of the studied concepts and how most of them could construct a process conception.